НА КАЧЕСТВО ВОССТАНОВЛЕНИЯ
Ранее предполагалось, что состояние параметра определяется с .вероятностью единица (инструментальная достоверность контроля равна единице). Однако на практике любая система контроля имеет погрешности и достоверность контроля меньше единицы. Рассмотрим, как изменится в этом случае формулировка задачи и характер принимаемых решений.
Будем предполагать, что при контроле состояния і с вероятностью р<1 фиксируется состояние і и с вероятностью 1 —р — одно из состояний 1, 2 …, і— 1, г+1,. . .. F. Оценим средние удельные затраты Mi [с], соответствующие введенному процессу (3.1) — (3.2). На основании теоремы о полном математическом ожидании
— р)М2[с], (3.18)
где Щс — математическое ожидание затрат за один шаг, соответствующее случаю, когда измеренное и истинное состояние АС совпадают; Мг{с] — математическое ожидание затрат при наличии погрешностей системы контроля.
Если значение достоверности при измерениях меньше заданного, то естественным является желание увеличить это значение путем повторения проверок (при отсутствии ограничений на продолжительность или затраты контроля), что ведет к возрастанию общих затрат на контроль. Далее в результате неправильного определения состояния АС возможно, например, проведение предупредительных работ, когда, в этом нет необходимости, что, естественно, вызывает дополниіЄлсЬьїє затраты. При пропуске отказа, как правило, также требуются затраты, связанные с ликвидацией последствий такого отказа и т. и.
Поэтому. в общем случае можно считать, что при р<1 затраты всегда возрастают: с=Со+Ас, где с0 — затраты при р= 1; Ас — дополнительные затраты за счет р< 1.
Используя выражение (3.6) для Мс и обозначая дополнительные затраты символом А, получим
М2 [с] — 222 KiDisqsj {tsj -|- Дtsj — j — zsj — f — Azsj) 4-
І / 5
+22 ^iDls(Cis—Acis),
І S
откуда после преобразования получим
М‘2 [с] = М [с — 2 2 niD, /]sj №sj “Ь ^zsj) 4~ 22 ntDisAcis.
і j s is
(3. 19)
После подстановки (3.6) и (3.19) в (3.18) и приведения подобных членов
Мх [с] = 222 isQsjtysj Ь^5/)~Ь,2 ^i^iSpis~~(^
І j s is
x(222 ni ^isQsj (Msi — Ь ^zsj) ~Ь 2 2 ■ (3.20)
1 і j s is ‘
Теперь задача по определению правила проведения предупредительных работ сводится к следующей задаче линейного программирования: минимизировать выражение (3.20) при ограничениях (3.5) с учетом обозначений (3.7). Для того чтобы определить, к чему приведет учет достоверности контроля, проанализируем более детально выражение для дополнительных затрат. Естественно пред
положить, что дополнительные затраты зависят от достоверности контроля. Пусть эта зависимость имеет вид:
A c=f{p)c0, (3.21)
где f(p)—неотрицательная, кусочно-непрерывная функция, удовлетворяющая на интервале 0<р^ 1 условиям Дирихле и f(p)=f( 1)=0. Если в общем случае btsJ= fW (p)tsj> A2<7 — fi (jP)zsj, Дс/5= ffs(P)°lS’ т0 после их подстановки в (3.20) Af і [с] принимает вид:
+
(3.22)
X
l j S Si
x[l+(l-rf/g’(p)]. (3.23)
Так как выражения, стоящие в квадратных скобках, при р< 1 положительны (или по крайней мере неотрицательны), то отсюда следует, что учет достоверности контроля приводит к возрастанию математического ожидания затрат. Второй вывод, который может быть сделан из анализа выражения (3.23), состоит в том, что при р<1 возможно изменение значения упреждающего допуска і*. Покажем, что это так. Так как в общем виде такой анализ достаточно сложен, то проведем его па одном из частных случаев для функций fsj(p) и затрат.
Пусть
/if (р) = /о (р);
і’Де Q = TB/Tp.
Здесь (возможны различные случаи.
1. Пусть f0(p)>0, a fi(p)=f2(p)=0, 0<р<1, т. е. погрешности при контроле не вызывают изменения затрат на восстановительные работы. Тогда (3.25) принимает вид:
Ml И 771 =[ 1 + (1 — р) /о (Р) to77’+е 2* 2 %iDi* + 2* ЯрВр*’
Ї=1 5=1 5=1
(3. 26)
Из формулы (3.26) следует, что если ошибки при контроле приводят к возрастанию затрат только на проверку, то при этом увеличивается абсолютное значение средних удельных затрат, а значение упреждающего допуска сохраняется прежним. Последнее объясняется следующим образом.
Значение упреждающего допуска определяется набором значении xis, соответствующих оптимальному плану задачи линейного программирования. В свою очередь, оптимальный план определяется коэффициентами при неизвестных в целевой функции и системе ограничений. При изменении коэффициентов в целевой функции изменяется уравнение плоскости, вследствие чего и возможно изменение оптимального плана.
В данном случае этого не происходит, поэтому значения xis, соответствующие оптимальному плану в этой задаче, будут такими же, как и в задаче с целевой функцией (3.15), а следовательно, значение упреждающего допуска сохранится.
2. Предположим теперь, что /о(р)=0, а /і(р)>0, /2(р)>0,
0<pd.
В этом случае
Ml М _ to! V Я D 4
[1 +(1-р)/2(р)]ГР [ + (-p)f2(p)]TvT F
5= 1
+ч/;)е2 2 (3-27)
І-1 5- 1
При целевой функции вида (3.15) значение упреждающего допуска зависит только от значения q и параметров случайного процесса, задаваемого матрицей вероятностей переходов. (3.1). Кроме того, на примере было проиллюстрировано, что при изменении О от 1 до 0 значение I* уменьшается от F до 2. Анализ выражения (3.27) показывает, что при учете достоверности контроля общая структура целевой функции сохраняется, но вместо, сомножителя q
появляется произведение 6(/;)q. Поведение множителя б(/;) определяет поведение всего произведения, а следовательно, и возможность изменения упреждающего допуска. В свою очередь, поведение б (р) зависит от того, как функции fi{p) и Ыр) изменяются относительно друг друга. Пусть при любом р Ыр)<Ыр)- Тогда 6(р)<1, откуда 6(p)q<q. Тенденция к уменьшению значения упреждающего допуска очевидна. При 6(р)>1 характер изменения величины і* будет противоположным. Интересно отметить, что достоверность результатов контроля не оказывает влияния на упреждающий допуск при б (р) = 1, т. е. в случае когда дополнительные затраты при всех р изменяются одинаково $і(р)=Ї2(р)]-
На основании полученных результатов можно сформулировать удобное правило для определения значения І* при любом р, если известны зависимость i* (q) при р= 1 и вид функций Ыр) и Ыр) • Пусть р=р< 1. Тогда после вычисления 6(р) = 1 + (1—р) X ХЫр)/1 + (1 —Р)Ыр) и величины р(р)=б(р)е на основании зависимости z*(q) находят значение і* прй д = р(р).
Отметим особенность, которая возникает при мгновенной индикации отказа. Если известна зависимость Ыр)> то формула (3.25) примет вид:
Х^ 2 n‘^is—2 MfDfs[у (р) Л + (р) б] У, 2 (3.28)
5=1 1—1 5=1 5=1 1 = 1
Следовательно, при мгновенной индикации отказа учет затрат на контроль может привести к изменению упреждающего допуска даже в случае, если б(р) = 1, что отличается от ситуации, когда такой индикации нет. Формула (3.28) позволяет, используя предложенное выше правило, оценивать значение і*, не решая задачи линейного программирования с целевой функцией вида (3.28). Для этого достаточно вычислить выражение у(Р)т1 + °'(Р)б==6ь а затем, используя зависимость при q=qi определить соответствую
щее значение I*.
Пример 2. Рассмотрим параметр (3.16), при классификации состояния которого можно использовать одну из двух систем контроля. Пусть р=0,2, тогда при идеальной системе контроля t* = 6. Предположим, что для первой системы контроля достоверность pi =0,9, а для второй системы р2=0,6. Предположим, что зависимости f(p) имеют вид: Д(р) =^i(1—р) fz(p)=kг(1—р), причем fci=5, *2=20. Тогда при pt = 0,9 в соответствии с правилом оценки значения і* бСрі)=0,87, рСрі)=Ю, ііі74 и в соответствии с табл. ІЗ. 1 корректировка значения упреждающего допуска не требуется. Напротив, для второй системы контроля при рг= 0,6 для тех же значений к и *2 имеем е (Рв) = 0,09, что требует изменения значения упреждающего допуска от і* = 6 до і* = 4.
Пусть теперь имеется устройство мгновенной индикации отказа и fo= = (р) = ka (1 —р), й0=5, г)=0.1.
Тогда для системы I — 0,2Й2, и АС нужно эксплуатировать
до отказа (т. е. t* = 7). Для системы контроля І у(рг)ті = 0,043 и у(/>2)т] +
I б (Рв) 6 — 0,043+0,09=0,133, что соответствует выбору значения упреждающе — ю допуска «* = 6. Иными словами, введение устройства мгновенной индикации отказа позволило даже при весьма низкой достоверности контроля использовать ■падение упреждающего допуска, соответствующего идеальной системе контроля.